伽瑪函數（Gamma函數），也叫歐拉第二積分，是階乘函數在實數與復數上擴展的一類函數。該函數在分析學、概率論、偏微分方程和組合數學中有重要的應用。與之有密切聯系的函數是貝塔函數，也叫第一類歐拉積分。可以用來快速計算同伽馬函數形式相類似的積分。

gamma函數——gamma函數歷史背景

1728年，哥德巴赫在考慮數列插值的問題，通俗的說就是把數列的通項公式定義從整數集合延拓到實數集合，例如數列1,4,9,16…..可以用通項公式n2自然的表達，即便n為實數的時候，這個通項公式也是良好定義的。直觀的說也就是可以找到一條平滑的曲線y=x2通過所有的整數點(n,n2),從而可以把定義在整數集上的公式延拓到實數集合。一天哥德巴赫開始處理階乘序列1,2,6,24,120,720,…,我們可以計算2!,3!,是否可以計算2.5!呢?我們把最初的一些(n,n!)的點畫在坐標軸上，確實可以看到，容易畫出一條通過這些點的平滑曲線。但是哥德巴赫無法解決階乘往實數集上延拓的這個問題，于是寫信請教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼爾·伯努利，由于歐拉當時和丹尼爾·伯努利在一塊，他也因此得知了這個問題。而歐拉于1729年完美地解決了這個問題，由此導致了伽瑪函數的誕生，當時歐拉只有22歲。

Beta函數和Gamma函數有什么用？

應用a.Beta函數和Gamma函數提供了大部分超幾何函數（Hypergeometricfunctions）的理論基礎。Gauss超幾何級數的積分表示便是借助了Beta積分。而Mellin-Barnes積分表示則是借助了Gamma函數的性質，這使得超幾何級數在復平面上的延拓得以通過一種統一的形式得以實現。

應用b.分數階微積分，也就是通常牛頓-萊布尼茨微積分的推廣，也依賴于Beta和Gamma函數的定義。你可以看一下Riemann-Liouville分數階積分的定義。而由整數階導數到分數階導數（復數階導數）的插值就是來源于Gamma函數實際上是階乘n!的插值這一性質。

應用c.Riemannzetafunction的一個基本的積分表示其核心就是Gamma函數。而許多zeta函數的推廣都離不開Gamma函數。

應用d.Laplace變換和Mellin變換，這兩個十分重要的積分變換，可以十分好的統一在Gamma函數的積分表示上。也就是說，Gamma函數是指數函數的Mellin變換，同時還是冪函數的Laplace變換。

應用e.Beta函數本身可以用來構造概率分布。而高維的Beta函數，例如Dirichlet,Liouville型的Beta函數也在概率統計中有這重要的應用價值。

應用f.Selberg構造的一個特別重要的multidimensionalBetaintegral在解決MacdonaldConjecture的過程中也起到了很大的作用。而它本身現在也成為了一個十分重要的研究對象。

總之，從Gamma和Beta函數出發，已經生長出了足夠我們窮盡一生去探究的數學分支，它們的重要性就包含在其中，近年來，關于完全單調函數類的研究非常多，從而衍生出了許多諸如logarithmically這樣的更復雜的刻畫。在涉及這些主題的論文中，Gamma函數經常作為構造完全單調函數的元素出現。如果大家還想了解更多與之有關的信息，歡迎關注我們文軍營銷的官網。

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